faut il couper le chauffage quand on quitte son logement - Généralisation

Essayons de généraliser

Jusqu’ici nous nous sommes penchés sur deux cas particuliers supposés et en simplifiant les calculs. Essayons de passer à un graphe plus général qui s’adapterait à des pertes quelconques et sur des durées diverses.

La physique nous enseigne qu’en réalité la chute de température suit une loi exponentielle négative.

T=T₀ ×e^(-t/ϴ)

T₀ est la température de départ (20°) en fait, c’est l’écart de température intérieur-extérieur au départ, on y reviendra ; t est le temps écoulé depuis la coupure du chauffage, e est un de ces nombre magique utilisés par les mathématiciens. Il vaut environ 2,718 . ϴ est la constante de temps. Ce temps est celui qu’il faudrait pour atteindre 0° si la chute de température se maintenait constamment au rythme de départ, plus précisément, c’est l’abscisse du point d’ordonnée 0 de la tangente à l’origine des temps . On en a une idée approximative en disant que s’il faut 10h pour perdre 2° alors il faudrait 100h pour perdre 20° ; ϴ ≈ 100h. En fait, on a remplacé la tangente par une petite corde.

La vraie valeur se calcule ainsi à partir de la formule ci-dessus:

on la met sous la forme :

T / T₀ = e^(-t/ϴ)

d’où l’on tire :

ln(T/ T₀) = -t/ϴ donc ln(T/ T₀) / -t = 1/ϴ

qu’on peut mettre sous la forme

ϴ = -t / ln(T/ T₀)

soit

ϴ = t / ln(T₀ / T) = t / (ln(T0) - ln(T))

Ce qui nous donne

ϴ = 10 / ln(20/18) = 10 / ln (1,111) = 95h

Nos 100h étaient justes à 5 % près.

Considérons le tableau ci-dessous.

La deuxième colonne calcule l’exponentielle. La formule est : =Exp(-A2) pour la ligne 2.

La troisième colonne calcule l’ordonnée de la courbe de décroissance en multipliant l’exponentielle par un simple coefficient . La fonction est =200 × B2 pour la ligne 2.

Le facteur 200 se justifie par les 200 mm représentant 20°.