À propos de l’éclipse du 29/03/2025

Ils sont bien gentils les astronomes de tout poils qui vous disent que l’éclipse sera partielle à tant % à tel endroit ; mais ce qui intéresse le quidam c’est ce qu’il va voir c’est à dire quelle portion du soleil va disparaître.

Ce petit article vous propose d’étudier cette question.

A -Un peu de géométrie

Le soleil et la lune sont vu depuis la terre sous des angles très proches ; ils apparaissent comme des disques à peu près égaux. Nous allons donc étudier ce qu’il se passe quand 2 cercles égaux se croisent,

Examinons la figure ci-dessous :

Figure :1

On aurait tendance à étudier ce qu’il se passe quand on fait varier la distance O O’. En fait, il est plus facile d’aborder le problème en prenant l’angle a comme variable.

Pour simplifier encore davantage les choses, on considère que le rayon des cercles vaut 1.

L’aire des cercles (ou plus justement des disques) vaut ici Ad = π,

L’aire de la portion de ce disque d’angle au sommet a est égale à π quand a = 2π radiants (cercle complet 2π radiants = 1 tour). On en déduit l’aire de la portion de disque OAB : Ap = a / 2,

Comme R =1,le coté OH du triangle rectangle mesure cos(a) et le coté AH mesure sin(a). On en déduit immédiatement l’aire du triangle : At = cos(a) × sin(a) / 2.

Le segment HB mesure 1 – cos(a).

L’aire de la zone ABH est égale à la différence Ap – At et c’est le quart de l’aire recherchée en forme de ménisque. A() dans le tableur.

À partir de là, il est facile de faire un tableur Calc (ou Excel)

B -Le tableur

On verra la colonne A plus tard.

Colonne B donne les valeurs de a par incrément de 0,05 radiants.

Colonne C calcule Ap la formule est = B2 /2 sur la ligne 2 et recopiée sur les lignes suivantes en tirant le petit carré vers le bas.

Colonne D calcule At , La formule est =cos(B2)*sin(B2) /2

colonne E calcule l’aire du ménisque : = (c2 – D2) * 4

Colonne F calcule le pourcentage d’obstruction : = E2 / PI() * 100

Colonne G calcule l’épaisseur du ménisque ou si vous préférez la profondeur de l’ombre :

= (1-COS(B2))*2

En fait, seules les colonnes F et G nous intéressent : On lit le pourcentage d’obstruction en F et la profondeur correspondante en G.

C -Le diagramme

J’ai ajouté un diagramme qui donne G en fonction de F.

Pour créer un diagramme, il faut d’abord sélectionner la colonne concernée. Elle fournira les ordonnées de la courbe. À l’étape « plage de données » il faut cocher Série de données en colonne et première colonne comme étiquette. C’est ce qui fera que les abscisses seront données par cette colonne (sinon c’est les numéros des lignes qui servent d’abscisses) . On ne peut pas (à ma connaissance) choisir une autre colonne. C’est pourquoi la colonne A est une copie de la colonne F. Attention, pour que cela marche, il faut faire un collage spécial qui recopie les nombres et pas les formules.

D -Profondeur à la demande

Bien sûr, le tableur ne donne pas forcément l’obstruction attendue. Par exemple, 14 % n’existe pas dans la colonne F. Évidemment on peut l’évaluer avec plus ou moins de précision sur le diagramme. Mais pourquoi ne pas faire un calcul à la demande ?

C’est ce qui se passe dans la colonne H :

Dans la cellule H2 on indique son choix en pourcentage d’obstruction.

À partir de là on va faire une interpolation linéaire entre les 2 valeurs qui encadrent le pourcentage choisi.

Évidemment, le calcul ne peut marcher que sur une seule ligne ; la formule va donc commencer par un SI avec une double condition : que la cellule en F soit supérieure à la valeur demandée et que la cellule au-dessus soit inférieure à cette valeur. Si la double condition est satisfaite, on calcule l’interpolation linéaire, sinon on écrit un signe discret : un tiret

Pour la ligne 5 la formule est :

=SI(ET($H$2>F4;$H$2<F5)=1; (G5-G4) / (F5-F4) *($H$2 - F4) + G4;"-")

La première partie, jusqu’au  point-virgule après le 1, donne les conditions.

La deuxième partie, jusqu'au point-virgule suivant, calcule l’interpolation (les conditions sont satisfaites).

La troisième partie écrit un tiret (les conditions ne sont pas satisfaites).

E -Observer l’éclipse

Observer un éclipse demande quelques précautions.

Parlons d’abord des fausses solutions :

Le verre fumé à la flamme d’une bougie, le masque de soudeur, 2 paires de lunettes de soleil l’une sur l’autre, toutes ces solutions donnent une vision confortable mais trompeuse. En effet, les rayons visibles sont fortement atténués, mais pas les infra-rouges qui vous brûleront la rétine au bout de 2 ou 3 dizaines de secondes, sans que vous vous en aperceviez, car il n’y a pas de nerfs sensibles à la chaleur sur la rétine. La cornée peut aussi être atteinte. La chose est d'autant plus sournoise qu'elle est souvent à retardement: Une dégénérescence maculaire apparaîtra 20 ou 30 ans plus tard.

Reste 2 solutions simples (et d’autres plus compliquées)

E.I -Avec des lunettes spéciales éclipse

Ces lunettes sont en vente par exemple chez Nature et découvertes et les vendeurs de matériel d’astronomie (entre autres). Elles doivent être certifiées ISO 12312-2. Leur prix est dérisoire (quelques €. Mais méfiez vous des offres à quelques centimes chez Amazon ou Ali). Attention à leur état. Le film ne doit pas être percé ni rayé.

E.II -Avec 2 bouts de cartons format A4 environ

La figure ci-dessous montre la manip.

On dirige un carton mince genre boîte de pain grillé, percé d’un tout petit trou, perpendiculairement à la direction du soleil.

On tient un autre carton couvert d’une feuille blanche, parallèle au premier carton, dans l’ombre de celui-ci.

On obtient ainsi une image du soleil en lui tournant le dos. Sécurité 100 % garantie.

Plus les cartons sont écartés, plus l’image est grande mais moins elle est lumineuse.

À 1,20m la taille de l’image sera de l’ordre du cm.

Plus le trou est grand, plus l’image est lumineuse, mais plus elle est floue. Le flou est de la taille du trou

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Figure :2

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